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INTRODUCCIÓN A LA MEDIDA Y SU RELACIÓN CON LA GEOMETRÍA EN EDUCACIÓN PRIMARIA

El profesor una nueva pregunta:

-“Esta casa tiene forma de cuadrado y su área mide 169 metros cuadrados. ¿Cuánto mide el perímetro?”

Enseguida corrieron a por el metro, pero se les informó que eso no estaba permitido. Sólo papel y lápiz.

-“La verdad es que así es más rápido y cómodo”

Efectivamente:

Un lado es igual a la raíz cuadrada de 169, es decir 13 metros. Como se trata de un cuadrado el perímetro será 13 por 4, igual a 52 metros

La grata experiencia llegaba su fin. Sin embargo no quisieron irse sin una última pregunta:

-“Profesor,¿puede indicarnos también algún truco de geometría?”

-“Por supuesto”-Respondió el profesor

Papel cuadriculado y George Pick

Para nuestro siguiente truco sólo vamos a necesitar papel cuadriculado y lápiz, o bien dibujar una malla cuadriculada sobre la servilleta en cuestión. Intentaremos que la malla cuadriculada sea lo más uniforme posible, y aceptamos que cada cuadradito tiene área 1. A los cruces entre las líneas horizontales y verticales de la cuadrícula los llamamos nodos.

Ahora vamos a pintar un polígono  sobre la malla siguiendo las siguientes reglas:

a) Los vértices del polígono deben estar situados sobre nodos de la cuadrícula. El polígono de la figura no es válido, por ejemplo.

b) Debe ser un polígono simple, es decir, que los lados del polígono no se crucen entre ellos, como, por ejemplo en la siguiente figura que representa a un polígono no simple.

Pues bien, podemos dibujar un polígono como el siguiente:

Atención pregunta: ¿Cuál es el área del polígono de la figura anterior?

Evidentemente, tenéis la opción de dividir el polígono en otros más simples, triángulos y cuadriláteros, para los que conocéis las fórmulas correspondientes para calcular sus áreas y responder a la pregunta planteada o bien, usar la Fórmula de Pick, que es bastante más rápido.

¿Que cuál es la fórmula de Pick? Claro, se me olvidó ese pequeño detalle… El Teorema de Pick (1899) establece que si tenemos  un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras, es decir, cuyos vértices están sobre los nodos de la cuadrículay llamamos  B al número de nodos sobre la frontera del polígono e I al número de nodos de la cuadrícula  en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

Vamos a ver que, efectivamente, esta fórmula funciona con polígonos sencillos para los que sabemos calcular sin dificultad el área.

En la siguiente figura, tenemos un rectángulo, de base 4 y altura 6 (os recuerdo que cada cuadradito de nuestra malla tiene área 1), por lo tanto, es un rectángulo de área 24; el triángulo central tiene una base de longitud 8 y una altura de 6, su área es de 24, también; y por último, el cuadrado de la derecha, tiene un lado de longitud 3 lo que nos da un área de 9.

Vamos a calcular sus áreas según la fórmula de Pick, para ello hemos señalado en rojo los nodos de la frontera, los que nos dan el valor de B y en verde, los nodos interiores al polígono, que nos darán el valor de I y… ¡tachán!

 

En realidad, no hacía falta esta comprobación puesto que el Teorema de Pick está rigurosamente demostrado y publicado en su trabajo Geometrisches zur Zahlenlehre,publicado en Praga en 1899. Lamentablemente, este trabajo de Pick pasó sin pena ni gloria y fue Hugo Steinhaus (al que, por cierto, le dirigió la tesis doctoral nada más y nada menos que  Hilbert), el que lo dio a conocer, ya en 1969.