POTENCIAS Y RAICES
A la hora de poner la mesa para cenar les llamó
la atención que en un mueble había cinco jarrones, en cada jarrón cinco flores
y cada flor tenía cinco pétalos. Se les animó a ver qué equipo era el primero
en saber cuántos pétalos había en total. Dos equipos empezaron a contar los
pétalos. El otro cogió un papel y bolígrafo. Se trataba de una potencia. El
resultado era 5x5x5= cinco al cubo. Por supuesto fueron los primeros en deducir
que había 125 pétalos.
Ya en el comedor, el profesor había preparado el
siguiente enigma:
“-Como veis es suelo es cuadrado y tiene 64
baldosas, si cada baldosa mide 50cm, ¿cuántos metros mide cada lado del
comedor?”
Algunos alumnos obviaron todos los datos y se
pusieron a buscar un metro. De nuevo se dieron cuenta que lo más rápido era
coger lápiz y papel.
En primer lugar hallaron la raíz cuadrada de 64,
es decir 8. Luego multiplicaron las 8 baldosas que tiene un lado por los 50cm
que medía. El resultado fue que cada lado medía 400cm que al pasarlo a metros daba
4 metros. El equipo que buscaba el metro no lo encontró.
Con los dos ejemplos comprobaron que la raíz
cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadrado nos da el primero.
Tras la cena se les ocurrió coger el libro de
curiosidades. Les había encantado.
-“Vale”, -dijo un alumno.
-“Pero si se trata de números que tengan por
ejemplo dos cifras, hallar el cuadrado nos va a llevar más tiempo”
-“No si aplicáis este truco” contestó el
profesor.
-Imaginaos que tenéis que calcular 45 al
cuadrado. Por una parte, todos los número acabados en cinco elevados al
cuadrado van a acabar en 25. A continuación no tenemos más que multiplicar la
decena por la decena más uno. En nuestro caso sería 4x5=20. Por lo tanto el
número que buscamos será 2.025.
Comprobadlo con el número 75 al cuadrado”
Todos estaban encantos pues con este truco
simplificarían las operaciones.
La terminación será 25; y 7x8=56. Por lo que el
resultado es 5.625
-“¡Qué bien! Por favor ¡cuéntanos otro truco!”
El profesor estaba encantado de haber encendido
la luz de la curiosidad, esta era la llave del querer aprender.
-“De acuerdo. Ahora vamos a simplificar el
calcular el cuadrado de un número que termina en 1. Lo vamos a ver con un
ejemplo:
51 al cuadrado. En primer lugar hallamos 50 al
cuadrado, eso es muy fácil. Es 2500. Ahora hacemos la siguiente operación
50x2+1=101. Ya no tenemos más que sumarlo
2.500+101=2.601
-Ahora calculad vosotros 81 al cuadrado”. A 6.400
sumamos (80x2+1=161) Total 6.561.
Al acabar cogieron el fantástico libro de
curiosidades matemáticas. Escogieron un tema relacionado con el ajedrez por la
relación que tiene este juego con las matemáticas.
LA LEYENDA DEL
TABLERO DE AJEDREZ
Hoy os
voy a narrar una de estas fábulas que conozco desde pequeño y siempre me
fascinó. Para entenderla no es preciso saber jugar al ajedrez. Sólo se necesita saber que el tablero donde se desafía
al oponente está dividido en 64 casillas negras y blancas, colocadas de manera
alternativa.
El
juego del ajedrez fue inventado en la India. Cuando el rey hindú Sheram se
enteró de este divertimento estratégico, se maravilló de lo ingenioso y de la
variedad de combinaciones que en él eran posibles. Al hacerse eco que el
inventor era uno de sus siervos, el rey requirió su presencia con objeto de
remunerarle personalmente por su buen invento.
El
autor del invento, que se hacía llamar Seta, se presentó ante el soberano. Era
un sabio que vestía con modestia y que vivía gracias a los medios que le
suministraban sus discípulos.
– Seta,
quiero compensarte generosamente por el ingenioso juego que ideaste –le dijo el
rey.
El
erudito contestó con una reverencia.
– Soy
lo bastante poderoso y acaudalado como para poder concederte tu deseo más
ansiado –continuó explicando el rey–. Declárame una recompensa que te satisfaga
y será tuya.
El
sabio se mantuvo callado.
– No
seas tímido –le animó el rey-. Cuéntanos tu anhelo. No escatimaré en gastos
para complacerlo.
–
Grande es su beneplácito, gran soberano. Pero concédame un corto plazo de
tiempo para pensar la respuesta. Mañana, tras una profunda meditación, le
transmitiré mi petición.
A la
mañana siguiente Seta compareció de nuevo ante el monarca y lo dejó maravillado
con su petición, sin precedente alguno por su humildad.
– Oh
gran soberano –dijo Seta–, ordene que me entreguen un grano de trigo por la
primera casilla del tablero de ajedrez que yo inventé.
– ¿Un
sólo grano de trigo? –inquirió con sorpresa el rey.
– Sí,
mi señor. Por la segunda casilla, pida que me sean entregados dos granos de
trigo; por la tercera casilla, cuatro granos; por la cuarta casilla, ocho; por
la quinta casilla, dieciséis; por la sexta casilla, treinta y dos…
–
¡Basta! –le interrumpió el rey enfadado–. Se te entregará el trigo
correspondiente a las 64 casillas del tablero, tal y como es tu deseo; por cada
nueva casilla, doble cantidad de trigo que por la precedente. Pero debes
conocer que tu petición es indigna de mi benevolencia. Al pedirme tan ínfimo
pago, menosprecias de manera irreverente mi recompensa. Y como erudito que
eres, podrías haber dado mayor prueba de respeto ante la magnificencia de tu
rey. Ya puedes retirarte. Mis sirvientes te entregarán el saco con el trigo que
necesites.
Seta
esbozó una sonrisa, y tras abandonar la sala, se quedó esperando en la puerta
exterior del palacio.
Durante
la comida, el rey se acordó del creador del ajedrez y envió a alguien para que
se informara de si se había entregado ya al meditabundo Seta su mezquina
recompensa.
–
Majestad, su orden se está cumpliendo –fue la respuesta–. Los matemáticos de la
corte calculan el número de granos de trigo que deben ser entregados.
El
monarca frunció el ceño. No estaba acostumbrado a que tardaran tanto en cumplir
sus decretos.
Por la
noche, al retirarse a descansar a sus aposentos, el rey preguntó de nuevo
cuánto tiempo hacía que el sabio Seta había abandonado el palacio con su saco
de trigo.
–
Majestad –le respondieron–, sus matemáticos siguen trabajando sin descanso y
esperan finalizar los cálculos al amanecer.
– ¿Por
qué va tan lenta esta operación? –gritó iracundo el monarca–. Que mañana, antes
de que me despierte, hayan entregado a Seta hasta el último grano de trigo. No
acostumbro a dar dos veces un mismo mandato.
Por la
mañana fue comunicado al gobernante que el matemático mayor de la corte instaba
audiencia para comunicarle un informe muy importante.
El
soberano ordenó que le hicieran pasar.
– Antes
de empezar tu informe –le dijo Sheram–, quiero conocer si se ha entregado por
fin a Seta la pobre recompensa que solicitó.
– Precisamente
por ese asunto he osado presentarme tan temprano –respondió el anciano–. Hemos
calculado concienzudamente la cantidad total de granos que desea recibir el
sabio Seta. El resultado es una cifra descomunal…
– Sea
cual fuere su proporción –le interrumpió con desdén el gobernante– mis graneros
y despensas no empobrecerán. He prometido darle esa remuneración y, por lo
tanto hay que entregársela.
–
Majestad, no depende de su intención el cumplir semejante deseo. En todos sus
graneros no existe la cantidad de trigo que pidió Seta. Tampoco existe en todas
las despensas de todo el reino. Hasta los graneros del mundo entero son
insuficientes. Si desea proporcionar sin falta la recompensa que prometió,
ordene que todos los reinos de la Tierra sean convertidos en labrantíos, mande
desecar los mares y océanos, ordene fundir el hielo y la nieve que cubren los
lejanos desiertos del norte. Que todo ese espacio sea totalmente sembrado de
trigo, y ordene que toda la cosecha conseguida en estos campos sea entregada a Seta.
Solamente de esta manera el sabio entonces recibirá su recompensa.
El
monarca escuchó perplejo las palabras del anciano matemático.
– Dime,
¿cuál es esa colosal cifra? –expresó el rey dudando.
– ¡Oh,
majestad! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos
cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones
quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince granos de trigo.
Si se
empieza por la unidad, se deben sumar estas cifras: 1, 2, 4, 8, 16, etc. El
resultado que se obtiene después de 63 duplicaciones sucesivas nos revelará la
cantidad correspondiente a la casilla 64, que deberá recibir el sabio Seta.
Podemos calcular fácilmente la suma total de granos de trigo, si duplicamos el
último número, conseguido para la casilla 64, y le restamos una unidad. Es
decir, el cálculo se resume de manera simple a multiplicar 64 veces seguidas la
cifra 2:
2 x 2 x
2 x 2 x 2, y así progresivamente hasta que lleguemos a 64 veces.
Con el
fin de facilitar el cálculo, se pueden dividir estos 64 factores en 6 grupos de
10 factores 2 y uno de 4 factores 2. La multiplicación sucesiva de 10 factores
2 es igual a 1.024 y la de 4 factores 2 es de 16. De esta manera, el resultado
buscado es equivalente a:
1.024 x
1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 1.024 x 16
Si
multiplicamos 1.024 x 1.024 obtendremos 1.048.576
Ahora
nos queda por calcular:
1.048.576
x 1.048.576 x 1.048.576 x 16
Si
restamos del producto obtenido una unidad, calcularemos el número de granos de
trigo buscado: 18.446.744.073.709.551.615
Para
hacernos una idea de lo colosal de esta cifra, debemos calcular de manera
aproximada la magnitud que debería poseer el granero capaz de almacenar
semejante cantidad de cereal. Primero debemos conocer que un metro cúbico de
trigo posee cerca de 15 millones de granos. Teniendo este dato en cuenta, la
recompensa del creador del ajedrez ocuparía un volumen aproximado de
12.000.000.000.000 m3, o lo que es igual, 12.000 km3. Si
el granero tuviera cuatro metros de alto y 10 metros de ancho, su longitud
sería de 300.000.000 km, o sea, la distancia que existe de la Tierra al Sol dos
veces.
El rey
hindú Sheram, lógicamente no podía proporcionar semejante recompensa. No
obstante, de haber estado fuerte en matemáticas, hubiera podido librarse de
esta deuda tan costosa. Para ello le habría bastado simplemente proponer a Seta
que él mismo contara, grano a grano, el trigo que había pedido.
Si el erudito
Seta, puesto a contar, hubiera trabajado noche y día, contando a un ritmo de un
grano por segundo, en el primer día habría contado 86.400 granos de trigo. Para
contar un millón de granos se necesitaría, como mínimo, diez días de continuo
trabajo. Un metro cúbico de trigo lo habría contado aproximadamente en medio
año, lo que supondría un total de cinco cuartos. Haciendo esto sin interrupción
durante diez años, habría contado cien cuartos como máximo.
De esta
manera, aunque Seta hubiera dedicado el resto de su vida a contar los granos de
trigo que le correspondían, habría recibido sólo una parte mínima de la
recompensa que exigió.
